दो सजातीय राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं।
यदि किसी संख्या x को a:b के अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाए तो दोनों भाग होंगे –
xa/(a+b) , xb/(a+b)
यदि किसी संख्या x को a:b:c के अनुपात में बांटा जाए तो इसके तीन भाग होंगे-
xa/(a+b+c) , xb/(a+b+c) , xc/(a+b+c)
समानुपात
- दो अनुपातों की बराबरी को समानुपात कहते हैं
- जैसे 5:7 = 15:21 इसे 5:7 :: 15:21 भी लिखा जा सकता है।
- यदि a:b::c:d तो हम a और b को बाहरी राशियां व c और d को माध्यमिक या आन्तरिक राशियां कहते है।
- बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल
वर्गानुपात
- यदि किसी अनुपात का वर्ग करके नया अनुपात बनाया जाता हैं। तो वह वर्गानुपात कहलाता है।
घनानुपात
- यदि किसी अनुपात का घन करके नया अनुपात बनाया जाता है तो वह घनानुपात कहलाता है।
वर्गमूलानुपात
- यदि किसी अनुपात का वर्गमुल लेकर नया अनुपात बनाया जाता है।तो वह वर्गमूलानुपात कहलाता है।
विततानुपात
- यदि राशियोंa,b,c,d ,…… आदि इस प्रकार हो की a/b=b/c=c/d……. तो राशियां विततानुपाति कहलाती हैं।
मध्यनुपाती
- दिये गये दो अनुपातों का मध्यपनुपाती उनके गुणनफल का वर्गमुल होता है।
उदाहरण
450 को राम और मोहन में 5:4 में बांटा जाये तो प्रत्येक का हिस्सा कितना होगा –
- 5:4 का योग = 5+4=9
- राम का हिस्सा = 450*5/9=250
- मोहन का हिस्सा =450*4/9=200
उदाहरण
8:14 :: 16:x
- बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल
- 8x=14*16
- x=14*16/8 = 28
उदाहरण
यदि अनुपात 9:7 के दोनों पक्षों में से 3-3 घटा दिया जाये तो अनुपातों पर क्या प्रभाव पड़ेगा –
- दिया है 9:7 = 9/7 = 1.28
- 9-3/7-3 = 6/4 = 1.5
- अतः अनुपात बढ़ेगा
उदाहरण
एक बर्तन में 20 लीटर के मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 4:6 है यदि 1 ली. दुध मिलाया जाये तो नया अनुपात क्या होगा –
- दुध व पानी का अनुपात 4:6
- दुध व पानी के अनुपातों का योग = 10
- अतः 20 ली मिश्रण में दुध कि मात्रा 4*20/10 = 8 लीटर
- पानी कि मात्रा = 6*20/10 = 12 लीटर
- 1 लीटर दुध मिलाने से दुध कि मात्रा 8+1 = 9 लीटर
- नया अनुपात 9:12= 3:4
उदाहरण
21 लीटर मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 3ः4 है इसमें कितना दुध मिलाया जाये की नया अनुपात 1:1 हो जाये –
- मिश्रण में दुध कि मात्रा = 3*21/7 = 9 लीटर
- मिश्रण में पानी कि मात्रा = 4*21/7= 12 लीटर
- माना x लीटर दुध मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात 1: 1
- अतः 9+x:12::1:1
- 9+x=12
- x=3
- यानी 3 लीटर दुध मिलाने पर अनुपात 1: 1 हो जायेगा।
उदाहरण
एक बर्तन में 60 लीटर दुध है। उसमें से 6 लीटर दुध निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। पूनः 6 ली. मिश्रण निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। इस प्रक्रिया के बाद बर्तन के परिणामी मिश्रण में दुध एवं पानी का क्रमश अनुपात होगा –
- बर्तन में कुल दुध की मात्रा 60 ली.
- 6 ली. दुध निकालकर 6 ली. पानी मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात = 54:6
- अब पुनः 6 ली. मिश्रण निकालने पर निकाली गयी दुध की मात्रा जबकी 60 ली. में दुध 54 ली. ही है। अतः
- दुध की मात्रा = 54*6/60 = 5.4 ली.
- 6 ली. मिश्रण में निकाली गयी पानी की मात्रा =6*6/60 = .6 ली
- अब शेष बचा दुध 54-5.4 = 48.6 ली.
- शेष बचा पानी 6-.6 = 5.4 ली.
- अब इसमें 6 ली. पानी मिलाने पर पानी की मात्रा 5.4 + 6 = 11.6 ली.
- अतः अनुपात
- 48.6: 11.4 या 81: 19
उदाहरण
एक बैग में एक रूपय, 50 पैसे और 20 पैसे के सिक्के 3:4:5 के अनुपात में है। यदि बैग में कुल 190 रूपये हैं तो बैंग में 1 रूपये के सिक्के सिक्कों की संख्या, 50 पैसे के सिक्कों की संख्या व 20 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करो।
- माना 1 रूपये के सिक्के हैं = 3x
- 50 पैसे के सिक्के हैं = 4x
- 20 पैसे के सिक्के हैं = 5x
- माना 3x*1+4x*.50+5x*.20= 190
- 3x+2x+x= 190
- x=40
उदाहरण
एक खान में मजदुरों को 5:4 के अनुपात में कम कर दिया जाता है। तथा उनकी मजदुरी 6:7 के अनुपात में बढ़ा दि जाती है। तो कुल देय मजदुरी में वृद्धि होगी या कमी होगी –
- पहले मजदुरों की संख्या =5x
- पहले देय मजदुरी = 6y
- कुल देय वेतन = 30xy
- अब मजदुरों की संख्या = 4x
- अब देय मजदुरी = 7y
- अब कुल देय मजदुरी = 28xy
- अतः कुल देय मजदुरी का अनुपात
- 30xy:28xy = 30:28 = 15: 14
- अतः कुल देय मजदुरी कम होगी।
उदाहरण
8,12,14 का चैथा अनुपात(चतुर्थानुपाती) क्या होगा –
- 8:12:14:x
- 8x= 12*14
- x=12*14/8 = 21..
- अतः चैथा अनुपात 21 होगा।
उदाहरण
8,12 का तीसरा अनुपात क्या होगा –
- 8:12:12:x
- 8x=12*12
- x = 12*12/8 = 18
उदाहरण
a:b = 4:7 तथा b:c = 14:15 तो a:c तथा a:b:c ज्ञात करो
- a/b = 4/7, b/c = 14/15
- a/b*b/c=(4/7)*(14/15)=8/15
- a/b = 8/15
- a:c = 8:15
- a:b = 4:7
- b:c= 14:15 =14*(7/14):15*(7/14)
- a:b:c = 4:7:15/2=8:14:15