Blog

अनुपात एवं समानुपात | प्रतियोगी परीक्षा गणित

दो सजातीय राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं।

यदि किसी संख्या x को a:b के अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाए तो दोनों भाग होंगे –

xa/(a+b) , xb/(a+b)

यदि किसी संख्या x को a:b:c के अनुपात में बांटा जाए तो इसके तीन भाग होंगे-

xa/(a+b+c) , xb/(a+b+c) , xc/(a+b+c)

समानुपात

  • दो अनुपातों की बराबरी को समानुपात कहते हैं
  • जैसे 5:7 = 15:21 इसे 5:7 :: 15:21 भी लिखा जा सकता है।
  • यदि a:b::c:d तो हम a और b को बाहरी राशियां व c और d को माध्यमिक या आन्तरिक राशियां कहते है।
  • बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल

वर्गानुपात

  • यदि किसी अनुपात का वर्ग करके नया अनुपात बनाया जाता हैं। तो वह वर्गानुपात कहलाता है।

घनानुपात

  • यदि किसी अनुपात का घन करके नया अनुपात बनाया जाता है तो वह घनानुपात कहलाता है।

वर्गमूलानुपात

  • यदि किसी अनुपात का वर्गमुल लेकर नया अनुपात बनाया जाता है।तो वह वर्गमूलानुपात कहलाता है।

विततानुपात

  • यदि राशियोंa,b,c,d ,…… आदि इस प्रकार हो की a/b=b/c=c/d……. तो राशियां विततानुपाति कहलाती हैं।

मध्यनुपाती

  • दिये गये दो अनुपातों का मध्यपनुपाती उनके गुणनफल का वर्गमुल होता है।

उदाहरण

450 को राम और मोहन में 5:4 में बांटा जाये तो प्रत्येक का हिस्सा कितना होगा –

  • 5:4 का योग = 5+4=9
  • राम का हिस्सा = 450*5/9=250
  • मोहन का हिस्सा =450*4/9=200

उदाहरण

8:14 :: 16:x

  • बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल
  • 8x=14*16
  • x=14*16/8 = 28

उदाहरण

यदि अनुपात 9:7 के दोनों पक्षों में से 3-3 घटा दिया जाये तो अनुपातों पर क्या प्रभाव पड़ेगा –

  • दिया है 9:7 = 9/7 = 1.28
  • 9-3/7-3 = 6/4 = 1.5
  • अतः अनुपात बढ़ेगा

उदाहरण

एक बर्तन में 20 लीटर के मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 4:6 है यदि 1 ली. दुध मिलाया जाये तो नया अनुपात क्या होगा –

  • दुध व पानी का अनुपात 4:6
  • दुध व पानी के अनुपातों का योग = 10
  • अतः 20 ली मिश्रण में दुध कि मात्रा 4*20/10 = 8 लीटर
  • पानी कि मात्रा = 6*20/10 = 12 लीटर
  • 1 लीटर दुध मिलाने से दुध कि मात्रा 8+1 = 9 लीटर
  • नया अनुपात 9:12= 3:4

उदाहरण

21 लीटर मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 3ः4 है इसमें कितना दुध मिलाया जाये की नया अनुपात 1:1 हो जाये –

  • मिश्रण में दुध कि मात्रा = 3*21/7 = 9 लीटर
  • मिश्रण में पानी कि मात्रा = 4*21/7= 12 लीटर
  • माना x लीटर दुध मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात 1: 1
  • अतः 9+x:12::1:1
  • 9+x=12
  • x=3
  • यानी 3 लीटर दुध मिलाने पर अनुपात 1: 1 हो जायेगा।

उदाहरण

एक बर्तन में 60 लीटर दुध है। उसमें से 6 लीटर दुध निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। पूनः 6 ली. मिश्रण निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। इस प्रक्रिया के बाद बर्तन के परिणामी मिश्रण में दुध एवं पानी का क्रमश अनुपात होगा –

  • बर्तन में कुल दुध की मात्रा 60 ली.
  • 6 ली. दुध निकालकर 6 ली. पानी मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात = 54:6
  • अब पुनः 6 ली. मिश्रण निकालने पर निकाली गयी दुध की मात्रा जबकी 60 ली. में दुध 54 ली. ही है। अतः
  • दुध की मात्रा = 54*6/60 = 5.4 ली.
  • 6 ली. मिश्रण में निकाली गयी पानी की मात्रा =6*6/60 = .6 ली
  • अब शेष बचा दुध 54-5.4 = 48.6 ली.
  • शेष बचा पानी 6-.6 = 5.4 ली.
  • अब इसमें 6 ली. पानी मिलाने पर पानी की मात्रा 5.4 + 6 = 11.6 ली.
  • अतः अनुपात
  • 48.6: 11.4 या 81: 19

उदाहरण

एक बैग में एक रूपय, 50 पैसे और 20 पैसे के सिक्के 3:4:5 के अनुपात में है। यदि बैग में कुल 190 रूपये हैं तो बैंग में 1 रूपये के सिक्के सिक्कों की संख्या, 50 पैसे के सिक्कों की संख्या व 20 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करो।

  • माना 1 रूपये के सिक्के हैं = 3x
  • 50 पैसे के सिक्के हैं = 4x
  • 20 पैसे के सिक्के हैं = 5x
  • माना 3x*1+4x*.50+5x*.20= 190
  • 3x+2x+x= 190
  • x=40

उदाहरण

एक खान में मजदुरों को 5:4 के अनुपात में कम कर दिया जाता है। तथा उनकी मजदुरी 6:7 के अनुपात में बढ़ा दि जाती है। तो कुल देय मजदुरी में वृद्धि होगी या कमी होगी –

  • पहले मजदुरों की संख्या =5x
  • पहले देय मजदुरी = 6y
  • कुल देय वेतन = 30xy
  • अब मजदुरों की संख्या = 4x
  • अब देय मजदुरी = 7y
  • अब कुल देय मजदुरी = 28xy
  • अतः कुल देय मजदुरी का अनुपात
  • 30xy:28xy = 30:28 = 15: 14
  • अतः कुल देय मजदुरी कम होगी।

उदाहरण

8,12,14 का चैथा अनुपात(चतुर्थानुपाती) क्या होगा –

  • 8:12:14:x
  • 8x= 12*14
  • x=12*14/8 = 21..
  • अतः चैथा अनुपात 21 होगा।

उदाहरण

8,12 का तीसरा अनुपात क्या होगा –

  • 8:12:12:x
  • 8x=12*12
  • x = 12*12/8 = 18

उदाहरण

a:b = 4:7 तथा b:c = 14:15 तो a:c तथा a:b:c ज्ञात करो

  • a/b = 4/7, b/c = 14/15
  • a/b*b/c=(4/7)*(14/15)=8/15
  • a/b = 8/15
  • a:c = 8:15
  • a:b = 4:7
  • b:c= 14:15 =14*(7/14):15*(7/14)
  • a:b:c = 4:7:15/2=8:14:15
DsGuruJi HomepageClick Here